Экспоненциальное сглаживание (ES, exponential smoothing) — один из самых простых методов прогнозирования спроса: он строит прогноз только на один период вперёд, придавая более свежим продажам больший вес, чем более старым. В этой статье разберём формулу, покажем расчёт на числах, объясним, почему выбор коэффициента сглаживания — это компромисс без единственно верного ответа, и сравним точность метода с Forecast NOW!.
Сравнение проводилось на 256 товарах с разным характером спроса: точность Forecast NOW! почти всегда примерно в два раза выше и почти никогда не хуже. Подробнее об алгоритме и сравнении читайте ниже.
Описание модели
Прогноз экспоненциального сглаживания строится только на один период вперёд: если данные по дням, то на один день, если по неделям, то на одну неделю. Пусть C — ряд фактических продаж, а S — экспоненциально сглаженный ряд. Дальше все графики построены на одном и том же ряду недельных продаж:
Рисунок 1. Исходный ряд продаж по неделям (ряд C)
Формула экспоненциального сглаживания
Формула сглаживания:
S(t+1) = S(t) + α × (C(t) − S(t))
Коэффициент сглаживания α принимает значения от 0 до 1. Ту же формулу можно переписать в эквивалентном виде, который нагляднее показывает логику метода:
S(t+1) = (1 − α) × S(t) + α × C(t)
Чем больше α, тем сильнее прогноз реагирует на последние фактические продажи и тем меньше остаётся от сглаженной истории. Первый прогноз (когда ещё нет предыдущего сглаженного значения) обычно берётся равным первому фактическому наблюдению.
Что меняет коэффициент α на графике
Разница видна на крайних значениях коэффициента: при низком α сглаженный ряд почти не замечает недельных колебаний, при высоком — повторяет их вслед за фактом.
Сначала низкое значение — α = 0,2:
Рисунок 2. α = 0,2: сглаживание сильное, фактические продажи учитываются слабо
При α = 0,8 картина обратная: сглаживания почти не остаётся, ряд идёт вслед за фактом с опозданием на период:
Рисунок 3. α = 0,8: сглаживания почти не остаётся, ряд повторяет факт с задержкой в один период
Пример расчёта
Пусть текущий сглаженный прогноз S(t) = 100 единиц, а фактические продажи за период составили C(t) = 120 единиц. Прогноз на следующий период при разных значениях α:
Почему при α = 1 сглаживания не остаётся
При α = 0,3 прогноз лишь немного сдвигается к факту; при α = 0,8 — почти вплотную приближается к нему; при α = 1 формула вырождается в правило «продадим ровно столько, сколько продали в предыдущий период»: S(t+1) = C(t), то есть сглаживания не остаётся вовсе.
Простыми словами: низкий α — прогноз реагирует медленно, но устойчив к разовым всплескам; высокий α — прогноз почти точно повторяет вчерашние продажи с задержкой в один период, включая случайные выбросы. На исторических данных высокий α может выглядеть «идеально точным», но именно поэтому на него нельзя ориентироваться: модель, которая точно повторяет прошлое, не обязательно хорошо предсказывает будущее.
Отставание прогноза на один период
На графике прогноза это выглядит так: линия прогноза повторяет форму фактических продаж, но с опозданием на один период.
Рисунок 4. Прогноз экспоненциального сглаживания при α = 0,6 на фоне фактических продаж
Чего экспоненциальное сглаживание не умеет
Экспоненциальное сглаживание разделяет ограничения, общие для всех классических методов прогнозирования (сюда же относятся простая скользящая средняя, авторегрессия, метод Хольта—Винтерса):
- Уровень сервиса остаётся за кадром. ES выдаёт одну сглаженную цифру и ничего не говорит о том, какой объём запаса нужен, чтобы гарантированно закрыть, скажем, 95 % спроса, этот выбор просто не встроен в модель.
- Проблема масштабирования. Коэффициент α подбирается опытным путём для каждого товара. На широком ассортименте перебирать и проверять его вручную для тысяч SKU нереально.
- Узкая область применимости. Метод строит прогноз на один период вперёд и по сути повторяет недавние продажи с задержкой: при высоком α копирует вчерашний день, при низком — запаздывает на несколько периодов. Оба режима приемлемы только на ровном спросе, а это порядка 6 % ассортимента продуктового супермаркета.
Когда стоит использовать экспоненциальное сглаживание
Экспоненциальное сглаживание относится к первому поколению алгоритмов: на выходе одна сглаженная цифра спроса. Ни вероятности других объёмов, ни нужного уровня сервиса из неё не получить — под запас нужен отдельный расчёт. Для остального ассортимента лучше прогнозировать не спрос напрямую, а товарные запасы: подробнее в статье «Почему нужно прогнозировать товарные запасы, а не спрос?».
Сравнение экспоненциального сглаживания с Forecast NOW!
Важное замечание: сравнение ниже построено на ошибке прогнозирования RMSE, и это не тот способ, которым мы рекомендуем выбирать алгоритм. Математическая ошибка не показывает, во сколько обойдётся промах в деньгах: она не различает дефицит и излишек и не учитывает страховой запас. Мы приводим RMSE только потому, что это привычная метрика, по которой методы сопоставимы между собой. Почему она не годится для решений о запасах — в статье почему мы не считаем MAPE, RMSE и другие математические ошибки. Рекомендуемый способ сравнения — имитационное моделирование денежных потерь на реальном ассортименте.
Как строилось сравнение на 256 товарах
Сравнение проводилось на 256 товарах с разным характером спроса — с краткосрочной и долгосрочной сезонностью, дефицитом, акциями и другими выбросами. Для каждого товара строился прогноз экспоненциального сглаживания при нескольких значениях α (0,2–0,8), выбирался лучший по ошибке на исторических данных и сравнивался с прогнозом Forecast NOW!. Результат: точность Forecast NOW! почти всегда примерно в два раза выше и почти никогда не хуже. На практике более точный прогноз позволяет держать меньший страховой запас при том же уровне сервиса — но во сколько именно раз, зависит от товара: связь между ошибкой прогноза и размером запаса нелинейна.
Рисунок 5. Сравнение точности прогнозирования Forecast NOW! и экспоненциального сглаживания
Сводные цифры по выборке
Ниже — фрагменты расчётных таблиц по тем же товарам.
Сводные цифры сравнения по всей выборке:
Разбивка по отдельным товарам — сколько ошибся каждый метод и во сколько раз Forecast NOW! точнее:
Рисунок 6. Ошибки прогнозирования Forecast NOW! и экспоненциального сглаживания по товарам (в сокращении)
И отдельно — как менялась ошибка самого экспоненциального сглаживания при разных α на тех же данных:
Рисунок 7. Ошибки экспоненциального сглаживания при разных значениях α (в сокращении)
Частые вопросы
Что такое экспоненциальное сглаживание?
Метод прогнозирования на один период вперёд, при котором прогноз строится как сглаженное значение с учётом фактических продаж — более свежим данным придаётся больший вес, экспоненциально убывающий для более старых периодов.
Как выбрать коэффициент α?
Обычно опытным путём: строится несколько прогнозов с разными значениями α, и выбирается то, что даёт наименьшую ошибку на исторических данных. Единого универсального значения нет — оно зависит от характера спроса конкретного товара.
Что будет, если взять слишком высокое значение α?
Прогноз почти без изменений повторит продажи предыдущего периода (при α = 1 — точно повторит), включая случайные всплески и провалы. На исторических данных это может выглядеть как высокая точность, но реальный прогноз на будущее от этого не выигрывает.
Для каких товаров подходит экспоненциальное сглаживание?
Для позиций с ровным спросом, где достаточно прогноза на один период вперёд и не нужно заглядывать дальше. Таких в типовом продуктовом супермаркете около 6 %.
Насколько быстро убывает вес старых продаж?
Если раскрыть формулу, вес продаж давностью k периодов равен α × (1 − α) в степени k. При α = 0,3 последний период весит 0,3, предыдущий — 0,21, ещё один назад — 0,147: три последние недели дают уже около двух третей прогноза. При α = 0,8 практически весь вес приходится на один последний период.
Что брать первым значением, если истории почти нет?
Обычно первый сглаженный уровень приравнивают к первому фактическому наблюдению — так и сделано в расчётах этой статьи. На коротком ряду выбор старта заметно двигает прогноз, и чем меньше α, тем дольше модель тянет за собой стартовое значение. На длинной истории влияние начальной точки затухает.
Можно ли получить прогноз дальше, чем на один период вперёд?
Формально да — прогноз на все следующие периоды окажется одинаковым и равным последнему сглаженному значению, то есть горизонтальной линией. Ни тренда, ни сезонности в такой линии нет, поэтому для горизонта длиннее одного шага берут методы, где тренд и сезонность заданы явно, — например Хольта—Винтерса.
Вывод
Экспоненциальное сглаживание уместно, когда решение принимается на один период вперёд, а спрос ровный: одна формула, один коэффициент, пересчёт в любой таблице. Как только нужен горизонт длиннее шага прогноза, учёт сезонности или объём запаса под заданный уровень сервиса, подбор α не помогает — метод устроен так, что ничего из этого не выдаёт. За это отвечают системы прогнозирования спроса и запасов, например Forecast NOW!, где параметры подбираются автоматически по всему ассортименту, а результатом становится не сглаженная цифра, а рекомендованный заказ.
Обзор других методов
Другие методы того же цикла, сравнение по той же методике. В скобках — поколение алгоритма: чем оно выше, тем больше источников неопределённости метод способен учесть.
- Простая скользящая средняя (SMA) — 1–2 поколение
- Метод Хольта—Винтерса — 1–2 поколение
- Авторегрессия (AR) — 1–2 поколение
- Вероятностное прогнозирование — 4 поколение
