Тестовая публикация

Метод Хольта-Винтерса — один из классических алгоритмов прогнозирования временных рядов. Он позволяет строить прогноз с учётом трёх компонент: общего уровня продаж, тренда (растут или падают) и сезонности (повторяющиеся колебания — например, рост спроса летом или перед Новым годом). В этой статье разберём формулы аддитивной и мультипликативной моделей, покажем пример расчёта на числах и сравним точность метода с другими алгоритмами.

Результаты сравнения модели Хольта-Уинтерса обобщены на графике ниже, по оси Х — товары, по оси Y — на сколько процентов Forecast NOW! оказывается лучше, чем модель Хольта-Винтерса. Как можно видеть, почти всегда алгоритм Forecast NOW! прогнозирует точнее на 10–20%. Подробнее об алгоритме и сравнении читайте ниже.

Описание модели Хольта-Уинтерса

Более сложный метод прогнозирования, чем рассмотренные ранее методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Метод может учитывать сезонность, что немаловажно, и общий тренд.

Модель Хольта-Уинтерса является расширением метода Хольта до трёхпараметрического экспоненциального сглаживания. Это значит, что метод характеризуется тремя параметрами, которые необходимо выбрать, чтобы получить прогноз. Выбор этих параметров может производиться путём простого перебора. Потом смотрим на полученные «прогнозы» в прошлом — модель, выбираем те параметры, при которых модель наиболее точно повторяет реальность.

Таким образом, модель Хольта-Винтерса — это развитие метода Хольта (учёт тренда без сезонности), который, в свою очередь, основан на простом экспоненциальном сглаживании Брауна. Впервые метод был описан Питером Уинтерсом в 1960 году.

Модели Хольта-Винтерса могут учитывать сезонность в мультипликативном и аддитивном вариантах. Грубо говоря, мультипликативный случай представляет сезонность как произведение, а аддитивный — как сумму.

Примеры прогнозов

Для аддитивной модели прогнозирования Хольта-Винтерса имеем следующую формулу для построения прогноза. Пусть ряд имеет сезонность периодом длиной p. Например, недельная сезонность p = 7. h в данном случае — номер периода, на который строится прогноз. Например, для построения прогноза на 7 дней вперёд, h принимает значения от 1 до 7.

Функция mod — это остаток от деления. Например, 23 mod 4 = 3.

Прогноз Y^[t+h] на период номер h будет иметь вид

Y^[t+h] = a[t] + h × b[t] + s[t − p + 1 + (h − 1) mod p],

где a[t], b[t] и s[t] рассчитываются следующим образом

1. a[t] = α (Y[t] − s[t−p]) + (1−α) (a[t−1] + b[t−1])
2. b[t] = β (a[t] − a[t−1]) + (1−β) b[t−1]
3. s[t] = γ (Y[t] − a[t]) + (1−γ) s[t−p]

Здесь α, β, γ являются параметрами, которые необходимо выбрать перед прогнозированием. Все они изменяются от 0 до 1. Первое уравнение описывает сглаженный ряд, второе уравнение служит для оценки тренда, третье уравнение для оценки сезонности. Пример модели Хольта-Уинтерса с аддитивной сезонной компонентой представлен на рисунке 1. Реальные продажи представлены чёрным цветом, красным — модель по методу Хольта-Уинтерса.

Рисунок 1. Хольт-Винтерс, аддитивная сезонная компонента.

Поближе можно рассмотреть пример модели, построенной этим методом на рисунке 2. Реальные продажи представлены чёрным цветом, красным — модель по методу Хольта-Уинтерса.

Рисунок 2. Хольт-Винтерс, аддитивная сезонная компонента, 16 периодов.

В мультипликативном случае сезонность не прибавляется, а умножается. Так, формула для прогнозирования примет вид

Y^[t+h] = (a[t] + h × b[t]) × s[t − p + 1 + (h − 1) mod p]

где a[t], b[t] и s[t] вычисляются следующим образом

1. a[t] = α (Y[t] / s[t−p]) + (1−α) (a[t−1] + b[t−1])
2. b[t] = β (a[t] − a[t−1]) + (1−β) b[t−1]
3. s[t] = γ (Y[t] / a[t]) + (1−γ) s[t−p]

Точно так же mod — остаток от деления. Аналогично, α, β, γ являются параметрами, которые необходимо выбрать перед прогнозированием. Все они изменяются от 0 до 1. Первое уравнение описывает сглаженный ряд, второе уравнение служит для оценки тренда, третье уравнение для оценки сезонности. Где присутствует сезонная компонента s, можно заметить: вычитание изменилось на деление.

Какую модель выбрать? Аддитивная подходит, когда амплитуда сезонных колебаний примерно одинакова из года в год (например, продажи канцтоваров). Мультипликативная — когда амплитуда растёт вместе с уровнем продаж (например, продажи растущего интернет-магазина, где декабрьский пик каждый год всё выше). На практике мультипликативная модель используется чаще, так как она лучше описывает большинство бизнес-данных.

Пример построенной модели с помощью Хольта-Уинтерса с мультипликативной сезонной составляющей представлен на рисунке 3. Как можно заметить, амплитуда модели увеличилась.

Рисунок 3. Хольт-Уинтерс, мультипликативная модель.

Параметры для этого примера были выбраны следующие:

• α:  0.02627821
• β:  0.04908298
• γ:  0.2922139

Выбор параметров осуществлялся с помощью «умного» перебора и минимизации ошибки на известных данных — модели.

Пример прогноза можно видеть на рисунке 4. Прогноз начинается в жёлто-оранжевой области. Оранжевая область показывает доверительный интервал с 80% вероятностью, жёлтая — с 95%. Доверительный интервал означает, что продажи с указанной вероятностью не выйдут за отмеченные границы (жёлтые или оранжевые на графике соответственно).

Рисунок 4. Пример прогноза методом Хольта-Винтерса.

Пример подстановки в формулу

Разберём, как формула работает на конкретных числах. Возьмём мультипликативную модель с параметрами из примера выше (α ≈ 0,026; β ≈ 0,049; γ ≈ 0,292) и предположим, что на последнем шаге расчёта мы получили следующие значения компонент:

Строим прогноз на 1 период вперёд (h = 1) по мультипликативной формуле:

Y^[t+1] = (a[t] + 1 × b[t]) × s = (520 + 3,2) × 1,15 = 601,7 единиц

Для прогноза на 3 периода вперёд (h = 3), если сезонный коэффициент для этого периода равен 0,87:

Y^[t+3] = (520 + 3 × 3,2) × 0,87 = 529,6 × 0,87 = 460,8 единиц

Сезонный коэффициент больше 1 означает, что в этом периоде спрос выше среднего («высокий сезон»), меньше 1 — ниже среднего. Именно за счёт этого множителя метод адаптирует прогноз к повторяющимся сезонным колебаниям.

Когда следует использовать метод Хольта-Винтерса

Метод даёт хорошие результаты не для любого товара. Ключевые условия — стабильная повторяющаяся сезонность и наличие данных минимум за 2 полных сезона (а лучше 3–5 лет).

Если ваш ассортимент включает товары с разным характером спроса, для каждой группы стоит подбирать свой метод прогнозирования — или использовать систему, которая делает это автоматически.

Важно учитывать: метод Хольта-Винтерса относится к классическим алгоритмам прогнозирования и лучше всего работает с товарами, имеющими регулярный гладкий спрос. По нашим данным, такой характер спроса типичен примерно для 6% ассортимента продуктового супермаркета. Для остальных категорий мы рекомендуем прогнозировать не спрос, а товарные запасы — подробнее в статье «Почему нужно прогнозировать товарные запасы, а не спрос?» О причинах отказа от сравнения по RMSE читайте в статье «Почему мы не считаем MAPE, RMSE и другие математические ошибки».

Сравнение прогнозов по модели Хольта-Винтерса с Forecast NOW!

Для сравнения с алгоритмом Forecast NOW! были построены прогнозы методом Хольта-Винтерса с различными параметрами, выбиралась лучшая модель, исходя из ошибки на известных данных (модели). Для выбора оптимальных параметров была написана программа на языке программирования R. Ошибки прогнозирования (RMSE) представлены в таблице 1.

На рисунках 5 и 6 представлен график сравнения Forecast NOW! и Хольта-Уинтерса (мультипликативная сезонная модель и аддитивная). По оси Х отложены товары, по оси Y — на сколько алгоритм Forecast NOW! лучше или хуже алгоритма Хольта-Уинтерса в процентах. Положительный процент показывает, что Forecast NOW! лучше на обозначенное число процентов, отрицательный — хуже. Как можно видеть из графика, почти во всех случаях алгоритм Forecast NOW! оказывается значительно лучше (в среднем на 10–20%), то есть предоставляет более точный прогноз. А более точный прогноз в свою очередь позволяет точнее планировать необходимые товарные запасы.

Таблица 1. Ошибки прогнозирования методов Хольта-Уинтерса и Forecast NOW!

Рисунок 5. Процентное улучшение качества прогноза Forecast NOW! по отношению к алгоритму Хольта-Уинтерса с мультипликативной моделью сезонности.

Рисунок 6. Процентное улучшение качества прогноза Forecast NOW! по отношению к алгоритму Хольта-Винтерса с аддитивной моделью сезонности.

Другие методы прогнозирования

Метод Хольта-Винтерса — один из семейства алгоритмов экспоненциального сглаживания. Ниже — сравнение с другими подходами, которые мы тестировали на реальных данных:

Подробнее о том, почему ошибки прогнозирования (RMSE, MAPE) не всегда отражают реальное качество прогноза, читайте в статье «Почему мы не считаем MAPE, RMSE и другие математические ошибки при прогнозировании спроса».

Литература

1. Winters P.R. Forecasting sales by exponentially weighted moving averages // Management Science, 1960, Vol. 6, № 3.
2. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.

Практические рекомендации
по управлению запасами
Про прогнозирование спроса, управление ассортиментом, планирование запасов, автоматизацию расчётов и сокращение стоков

Подписаться на телеграм канал